湖南師范大學碩士研究生入學考試自命題考試大綱

考試科目代碼：[603]考試科目名稱：高等數學

一、考試形式與試卷結構

1)試卷成績及考試時間

本試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

2)答題方式：閉卷、筆試

3)試卷內容結構

函數、極限與連續(xù)25%

　一元函數微積分40%

　多元函數微積分20%

　常微分方程8%

線性代數　7%

4)題型結構

a:單項選擇題，9小題，每小題3分，共27分

b:填空題，8小題，每小題4分，共32分

c:解答題(包括證明題)，9小題，每小題分，共91分

二、考試內容與考試要求

1、函數、極限、連續(xù)

考試內容

函數的概念及表示法函數的有界性(有界和收斂的關系存在正數M使f(x)<M恒成立則有界，不存在M則無界，注意與無窮大的區(qū)別-如振蕩型函數)、單調性、周期性(注意周期函數的定積分性質)和奇偶性(奇偶性的前提是定義域關于原點對稱)復合函數(兩個函數的定義域值域之間關系)、反函數(函數必須嚴格單調，則存在單調性相同的反函數且與其原函數關于y=x對稱)、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立(應用題)數列極限(轉化為函數極限單調有界定積分夾逼定理)與函數極限(四則變換無窮小代換積分中值定理洛必塔法則泰勒公式-要齊次展開)的定義及其性質(局部保號性)函數的左極限與右極限(注意正負號)無窮小(以零為極限)和無窮大(大于任意正數)的概念及其關系無窮小的性質(和性質積性質)及無窮小的比較(求導定階)極限的四則運算(要在各自極限存在的條件下)極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限:

函數連續(xù)的概念(點極限存在且等于函數值)函數間斷點的類型(第一型(有定義)：可去型，跳躍型第二型(無定義)：無窮型，振蕩型)初等函數的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(零點定理介值定理)

考試要求

（1）．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。

（2）．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．

（3）．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．

（4）.掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念.

（5）.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系．

（6）．掌握極限的性質及四則運算法則

（7）．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．

（8）．理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限．

（9）．理解函數連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數間斷點的類型．

（10）．了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．

2、一元函數微分學

考試內容

導數和微分的概念　導數的幾何意義和物理意義　函數的可導性與連續(xù)性之間的關系　平面曲線的切線和法線　導數和微分的四則運算基本初等函數的導數　復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法　高階導數一階微分形式的不變性　微分中值定理　洛必達（L’Hospital）法則　函數單調性的判別函數的極值　函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線　函數圖形的描繪　函數的最大值與最小值　弧微分　曲率的概念　曲率圓與曲率半徑

考試要求

（1）理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系．

（2）掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分．

（3）了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．

（4）會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數.

（5）理解并會用羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并會用柯西(Cauchy)中值定理．

（6）掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．

（7）理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用．

（8）會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內，設函數具有二階導數。當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．

（9）了解曲率、曲率圓與曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．

3、一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念　不定積分的基本性質　基本積分公式　定積分的概念和基本性質　定積分中值定理　積分上限的函數及其導數　牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式　不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法　有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分　反常（廣義）積分　定積分的應用

考試要求

（1）理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．

（2）掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．

（3）會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分．

（4）理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓-萊布尼茨公式．

（5）了解反常積分的概念，會計算反常積分．

（6）掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值．

4、向量代數和空間解析幾何

考試內容

向量的概念　向量的線性運算　向量的數量積和向量積　向量的混合積　兩向量垂直、平行的條件　兩向量的夾角　向量的坐標表達式及其運算　單位向量　方向數與方向余弦　曲面方程和空間曲線方程的概念　平面方程直線方程　平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件　點到平面和點到直線的距離　球面　柱面　旋轉曲面　常用的二次曲面方程及其圖形　空間曲線的參數方程和一般方程　空間曲線在坐標面上的投影曲線方程

考試要求

（1）理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示.

（2）掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），了解兩個向量垂直、平行的條件.

（3）理解單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式，掌握用坐標表達式進行向量運算的方法.

（4）掌握平面方程和直線方程及其求法.

（5）會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題.

（6）會求點到直線以及點到平面的距離.

（7）了解曲面方程和空間曲線方程的概念.

（8）了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求簡單的柱面和旋轉曲面的方程.

（9）了解空間曲線的參數方程和一般方程.了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求該投影曲線的方程.

5、多元函數微分學

考試內容

多元函數的概念　二元函數的幾何意義　二元函數的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數的性質　多元函數的偏導數和全微分　全微分存在的必要條件和充分條件多元復合函數、隱函數的求導法二階偏導數　方向導數和梯度　空間曲線的切線和法平面　曲面的切平面和法線　二元函數的二階泰勒公式　多元函數的極值和條件極值　多元函數的最大值、最小值及其簡單應用

考試要求

（1）理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義.

（2）了解二元函數的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質.

（3）理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性.

（4）理解方向導數與梯度的概念，并掌握其計算方法.

（5）掌握多元復合函數一階、二階偏導數的求法.

（6）了解隱函數存在定理，會求多元隱函數的偏導數.

（7）了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程.

（8）了解二元函數的二階泰勒公式.

（9）理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題.

6、多元函數積分學

考試內容

二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用　兩類曲線積分的概念、性質及計算　兩類曲線積分的關系　格林（Green）公式　平面曲線積分與路徑無關的條件　二元函數全微分的原函數　兩類曲面積分的概念、性質及計算兩類曲面積分的關系　高斯（Gauss）公式　斯托克斯（Stokes)公式　散度、旋度的概念及計算曲線積分和曲面積分的應用

考試要求

（1）理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理.

（2）掌握二重積分的計算方法（直角坐標、極坐標），會計算三重積分（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）.

（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系.

（4）掌握計算兩類曲線積分的方法.

（5）掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數全微分的原函數.

（6）了解兩類曲面積分的概念、性質及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分.

（7）了解散度與旋度的概念，并會計算.

（8）會用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等）.

7、無窮級數

考試內容

常數項級數的收斂與發(fā)散的概念　收斂級數的和的概念　級數的基本性質與收斂的必要條件　幾何級數與級數及其收斂性　正項級數收斂性的判別法　交錯級數與萊布尼茨定理　任意項級數的絕對收斂與條件收斂　函數項級數的收斂域與和函數的概念　冪級數及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域　冪級數的和函數　冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質簡單冪級數的和函數的求法　初等函數的冪級數展開式。

考試要求

（1）理解常數項級數收斂、發(fā)散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件.

（2）掌握幾何級數與級數的收斂與發(fā)散的條件.

（3）掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法.

（4）掌握交錯級數的萊布尼茨判別法.

（5）了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系.

（6）了解函數項級數的收斂域及和函數的概念.

（7）理解冪級數收斂半徑的概念、并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法.

（8）了解冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質（和函數的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區(qū)間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和.

（9）了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件.

（10）掌握，，，及的麥克勞林（Maclaurin）展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開為冪級數。

8、常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念　變量可分離的微分方程　齊次微分方程　一階線性微分方程　伯努利（Bernoulli）方程　全微分方程　可用簡單的變量代換求解的某些微分方程，　線性微分方程解的性質及解的結構定理?！?/P>

考試要求

（1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

（2）掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法．

（3）會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程．

（4）會用降階法解下列形式的微分方程：

和．

（5）理解線性微分方程解的性質及解的結構．

（6）會用微分方程解決一些簡單的應用問題．

9、線性代數

考試內容

行列式的概念和基本性質　行列式按行（列）展開定理矩陣的概念　矩陣的線性運算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉置　逆矩陣的概念和性質　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　　矩陣的秩　矩陣的等價　分塊矩陣及其運算向量的概念向量的線性組合與線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系向量空間及其相關概念線性方程組的克萊姆（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構非齊次線性方程組的通解

考試要求

（1）了解行列式的概念，掌握行列式的性質．

（2）會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式．

　（3）理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣以及它們的性質．

（4）掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.

（5）理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣．

（6）理解矩陣初等變換的概念，了解初等矩陣的性質和矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法．

（7）了解分塊矩陣及其運算．

（8）理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法．

（9）理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系.

（10）會用克萊姆法則．

（11）理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念．

（12）掌握用初等行變換求解線性方程組的方法．

三、參考書目

[1]同濟大學數學系編.高等數學（第六版）.高等教育出版社,

[2]彭冨連主編.高等數學.湖南師大出版社,

[3]同濟大學數學系編.線性代數（第五版）.高等教育出版社,

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