云南省專升本數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》考試考核目標(biāo)

    考生應(yīng)理解和掌握《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)、極限、連續(xù)、微分學(xué)、積分學(xué)和級(jí)數(shù)的基本概念、基本理論、基本方法。應(yīng)具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和空間想象能力，能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)正確拙推理證明，準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷地計(jì)算。能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析中的基本理論、基本方法分析和解決實(shí)際問題。

云南省專升本數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》考試內(nèi)容

    一、函數(shù)、極限與連續(xù)

    (一)函數(shù)

    1．知識(shí)范圍
    函數(shù)的概念，函數(shù)的表示法與四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，五類基本初等函數(shù)，初等函數(shù)，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

    2．考核目標(biāo)
    (1)正確理解和掌握函數(shù)的概念，熟練地求函數(shù)的定義域和一些函數(shù)的值域。
    (2)理解和掌握有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)與周期函數(shù)概念，并會(huì)用定義判斷函數(shù)的類別。
    (3)理解函數(shù)的四則運(yùn)算與反函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算。
    (4)掌握五類基本初等函數(shù)的定義與主要性質(zhì)。

    (二)極限

    1．知識(shí)范圍
    數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限的唯一性、有界性、保號(hào)性、保序性，兩邊夾定理，四則運(yùn)算定理，單調(diào)有界定理。
    函數(shù)極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系，當(dāng)X→∞(X→+∞，X→-∞)時(shí)函數(shù)極限的定義，函數(shù)極限的唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，局部保序性，四則運(yùn)算定理，兩邊夾定理，海涅定理。兩個(gè)重要極限： 。
    無窮小量與無窮大量的定義及其他們的關(guān)系、性質(zhì)及無窮小量階的比較。

    2．考核目標(biāo)
    (1)理解和掌握數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念，會(huì)用定義證明極限中一些有關(guān)問題。
    (2)熟練地應(yīng)用極限的唯一性、有界(局部有界)性、保號(hào)(局部)性、保序(局部)性證明有關(guān)問題。
    (3)應(yīng)用四則運(yùn)算定理、兩邊夾定理、單調(diào)有界定理和兩個(gè)重要極限，熟練地求極限。
    (4)理解無窮小與無窮大概念。

    (三)連續(xù)

    1．知識(shí)范圍
    函數(shù)在一點(diǎn)左連續(xù)、右連續(xù)與連續(xù)的概念，在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類。
    函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的性質(zhì)：局部有界性，局部保號(hào)性，四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的連續(xù)性。初等函數(shù)的連續(xù)性。
    函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)的性質(zhì)：介值定理，零點(diǎn)定理，最值定理，一致連續(xù)性定理。

    2．考核目標(biāo)
    (1)理解和掌握函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)一致連續(xù)的概念。
    (2)理解和掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性，并能應(yīng)用它證明有關(guān)問題。知道間斷點(diǎn)的分類。
    (3)掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(不包括它們的證法)，能用這些性質(zhì)證明有關(guān)問題。
    (4)知道初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)。

    二、一元函數(shù)微分學(xué)
 
   (一)導(dǎo)數(shù)與微分

    1．知識(shí)范圍
    導(dǎo)數(shù)的定義，左、右導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。    ．
    求導(dǎo)的運(yùn)算法則：包括四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)法，以及分段函數(shù)求導(dǎo)法。
    微分的定義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式不變性。
    高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算。
    導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用。

    2．考核目標(biāo)
    (1)掌握導(dǎo)數(shù)、微分的定義及幾何意義，了解它們的差異。
    (2)牢記導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)用四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法熟練地求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
    (3)會(huì)求一些函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
    (4)熟練地計(jì)算函數(shù)的微分。

    (二)微分中值定理和泰勒公式

    1．知識(shí)范圍
    費(fèi)爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒公式。

    2．考核目標(biāo)
    (1)掌握費(fèi)爾馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理的條件、結(jié)論和證明方法，會(huì)用拉格朗日定理證明一些恒等式與不等式。
    (2)記住的馬克勞林公式，會(huì)用它們求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的展開式。

    (三)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
 
    1．知識(shí)范圍
    羅必達(dá)法則，函數(shù)的單調(diào)性及其判定，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，函數(shù)的極值及其判定，最值的求法，函數(shù)的凹凸性及其判定，拐點(diǎn)，漸近線，函數(shù)作圖。
 
    2．考核目標(biāo)
    (1)熟練地應(yīng)用羅必達(dá)法求待定型的極限，特別是型。
    (2)掌握用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的方法。
    (3)掌握用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法。

    三、一元函數(shù)積分學(xué)

    (一)不定積分

    1．知識(shí)范圍
    原函數(shù)與不定積分的概念，不定積分的運(yùn)算法則，基本積分公式表。
    不定積分的第一換元法、第二換元法、分部積分法。一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分。簡(jiǎn)單元理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分。

    2．考核目標(biāo)
    (1)掌握原函數(shù)與不定積分的概念。
    (2)牢記不定積分公式表，熟練地用換元法和分部積分法求不定積分。
    (3)會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)，簡(jiǎn)單無理函數(shù)和三角函數(shù)有理式的積分。

    (二)定積分

    1．知識(shí)范圍
    定積分的概念，可積的必要條件，三類可積函數(shù)。定積分的性質(zhì)：包括線性線，有限可加性，單調(diào)性和積分第一中值定理。定積分的計(jì)算，可變上限積分，牛頓一萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法。

    2．考核目標(biāo)
    (1)理解定積分概念，記住三類可積函數(shù)。
    (2)掌握定積分的性質(zhì)和微積分基本定理，熟練地應(yīng)用牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算定積分。
    (3)熟練地用定積分換元積分法和分部積分法求定積分。

    (三)定積分在幾何上的應(yīng)用

    1．知識(shí)范圍
    平面區(qū)域的面積，平面曲線的弧長(zhǎng)，利用截面面積計(jì)算立體的體積，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積。

    2．考核目標(biāo)
 
   會(huì)用定積分求平面區(qū)域的面積，平面曲線的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積。
    (四)廣義積分
    1．知識(shí)范圍
    無窮區(qū)間上廣義積分收斂、發(fā)散的概念、絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，收斂性判別法。
    2．考核目標(biāo)
    (1)掌握無窮積分收斂與發(fā)散的概念，掌握無窮積分絕對(duì)斂與條件收斂的概念。
    (2)會(huì)用收斂的定義和收斂性判別法判別一些無窮積分的散性。

    四、級(jí)數(shù)

    (一)數(shù)值級(jí)數(shù)

    1．知識(shí)范圍
    數(shù)值級(jí)數(shù)的部分和，收斂與發(fā)散，和與余和的概念，收斂級(jí)的性質(zhì)，收斂的必要條件，柯西準(zhǔn)則。
    正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法。
    任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂、條件收斂概念，交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其斂散的萊布尼茲判別法。

    2．考核目標(biāo)
    (1)掌握級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念，絕對(duì)收斂與條件收斂的念。
    (2)牢記級(jí)數(shù)的斂散性，熟練地應(yīng)用比較判另法、達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性。
    (3)熟練地用萊布尼茲判別法判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性。

    (二)冪級(jí)數(shù)

    1．知識(shí)范圍
    冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域。冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性。
    函數(shù)的泰勒展開，函數(shù)的馬克勞林展開式。

    2．考核目標(biāo)
    (1)會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域和函數(shù)。
    (2)記住五個(gè)函數(shù)的馬克勞林展開式，并能應(yīng)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。

    五、多元函數(shù)微分學(xué)

    (一)多元函數(shù)微分學(xué)

    1．知識(shí)范圍
    多元函數(shù)的概念，二元函數(shù)的定義域，二元函數(shù)的重極限與累次極限，二元函數(shù)連續(xù)的概念，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的有界性、最值性、介值性和一致連續(xù)性。
    多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)、全微分，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與二階偏導(dǎo)數(shù)。

    2．考核目標(biāo)
    (1)理解二元函數(shù)重極限和累次極限的定義，會(huì)求二元函數(shù)的重極限與累次極限。
    (2)理解二元函數(shù)連續(xù)的定義與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
    (3)熟練地求偏導(dǎo)數(shù)、全微分和高階偏導(dǎo)數(shù)，包括復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。
 
    (二)二重積分

    1．知識(shí)范圍
    二重積分的概念，二重積分的性質(zhì)，二重積分的計(jì)算，包括化重積分為累次積分，用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分。應(yīng)用二重積分計(jì)算空間形體的體積、平面圖形的面積。

    2．考核目標(biāo)
    (1)理解二重積分的概念，了解二重積分的性質(zhì)。
    (2)熟練地計(jì)算二重積分，包括用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分。
    (3)會(huì)用二重積分計(jì)算一些簡(jiǎn)單空間形體的體積和平面圖形的面積。
 
    (三)曲線積分

    1知識(shí)范圍
    第一、二型曲線積分的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。

    2．考核目標(biāo)
    (1)熟練地計(jì)算第一、二型曲線積分。
    (2)會(huì)用格林公式計(jì)算第二型曲線積分。知道曲線積分與路徑無關(guān)的條件。會(huì)求P(x，y)dx+Q(x，y)dy的原函數(shù)。