一般地，把形如y=ax²+bx+c（其中a、b、c是常數(shù)，a≠0，b，c可以為0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線，頂點坐標，交點式為（僅限于與x軸有交點和的拋物線），與x軸的交點坐標是和。

注意：“變量”不同于“自變量”，不能說“二次函數(shù)是指變量的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在實數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別，如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。

二次函數(shù)公式大全

二次函數(shù)

I.定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax²+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數(shù)的三種表達式

一般式：y=ax²;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)²;+k [拋物線的頂點P（h，k）]

交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2a k=(4ac-b²;)/4a x1,x2=(-b±√b²;-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖象

在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x??的圖象，

可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為

P [ -b/2a ，(4ac-b²;)/4a ]。

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b²-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數(shù)

Δ= b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax²;+bx+c，

當y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax²;+bx+c=0

此時，函數(shù)圖象與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

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