知識點(diǎn)總結(jié)

一.二元一次方程(組)的相關(guān)概念

1.二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)并且未知項(xiàng)的次數(shù)是1的方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程組：二元一次方程組兩個(gè)二元—次方程合在一起就組成了一個(gè)二元一次方程組。

3.二元一次方程的解集：

(1)二元一次方程的解

適合一個(gè)二元一次方程的每一對未知數(shù)的值.叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。

(2)二元一次方程的解集

對于任何一個(gè)二元一次方程，令其中一個(gè)未知數(shù)取任意二個(gè)值，都能求出與它對應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值.因此，任何一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)多個(gè)解.由這些解組成的集合，叫做這個(gè)二元一次方程的解集。

4.二元一次方程組的解：二元一次方程組可化為

使方程組中的各個(gè)方程的左、右兩邊都相等的未知數(shù)的值，叫做方程組的解。

二.利用消元法解二元一次方程組

解二元(三元)一次方程組的一般方法是代入消元法和加減消元法。

1.解法：

(1) 代入消元法是將方程組中的其中一個(gè)方程的未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入到另一個(gè)方程中去，消去另一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)解。代入消元法簡稱代入法。

(2)加減消元法利用等式的性質(zhì)使方程組中兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)的絕對值相等，然后把兩個(gè)方程相加或相減，以消去這個(gè)未知數(shù)，使方程只含有一個(gè)未知數(shù)而得以求解。這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

用加減法消元的一般步驟為：

①在二元一次方程組中，若有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同(或互為相反數(shù))，則可直接相減(或相加)，消去一個(gè)未知數(shù);

②在二元一次方程組中，若不存在①中的情況，可選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同(或互為相反數(shù))，再把方程兩邊分別相減(或相加)，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程;

③解這個(gè)一元一次方程;

④將求出的一元一次方程的解代入原方程組系數(shù)比較簡單的方程，求另一個(gè)未知數(shù)的值;

⑤把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號聯(lián)立起來，這就是二元一次方程組的解。

2.思想：“消元”，即將“二元”轉(zhuǎn)化成“一元”，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的化歸思想，具體說就是把“新知識”轉(zhuǎn)化成舊知識，把“未知”轉(zhuǎn)化成“已知”，把“復(fù)雜問題”轉(zhuǎn)化成“簡單問題”。

三.二元一次方程的整數(shù)解問題

由于二元一次方程的解不唯一性(無數(shù)多個(gè))，在實(shí)際生活中又有較多的例子可以求出二元一次方程的整數(shù)解。

四.二元一次方程組的檢驗(yàn)法

常用的方法是：將這對數(shù)值分別代入方程組中的每個(gè)方程，只有當(dāng)這對數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說這對數(shù)值是此方程的解;如果這對數(shù)值不滿足任何一個(gè)方程，那么它就不是方程組的解。

五.三元一次方程組及其解法

三元一次方程組在課程中沒有提到，但在中考中，部分省、市命題仍有考題，競賽中也常用到它的解法，這里作個(gè)補(bǔ)充。

1.方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫三元一次方程組。

2.解三元一次方程組的方法與解二元一次方程組類似，只是多用一次消元法，它的基本思路是：

3.解三元一次方程組的一般步驟如下：

(1)把方程組里的一個(gè)方程分別與另外兩個(gè)方程組成兩組，用代入法或加減法消去這兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)含有另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組;

(2)解這個(gè)二元一次方程組;

(3)將所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求得第三個(gè)未知數(shù)的解，從而求出了方程的解。

注意：(1)要根據(jù)方程組的特點(diǎn)決定首先消去哪個(gè)未知數(shù);

(2)原方程組的每個(gè)方程在求解過程中至少要用到一次。

常見考法

(1)考查方程的概念及方程的解;

(2)解方程;

(3)應(yīng)用整數(shù)性質(zhì)求方程的整數(shù)解。

誤區(qū)提醒

(1)對二元一次方程的概念理解不準(zhǔn)確，可能會忽視其中某一個(gè)條件;

(2)運(yùn)用代入消元法時(shí)消錯(cuò)未知數(shù);

(3)進(jìn)行方程組兩邊相減時(shí)，容易漏掉減號“-”，把減數(shù)的負(fù)號“-”當(dāng)作減號而出錯(cuò)。

【典型例題】(2010 浙江衢州)